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<!DOCTYPE html>

<title>Hom-Funktor</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Hom-Funktor</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">In der <a href="Kategorientheorie" title="Kategorientheorie">Kategorientheorie</a> bezeichnet <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(A,B)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(A,B)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c282710b8f25864799d221e98c1c317c8d60eb9d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.673ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(A,B)}" loading="lazy"> (oder einfach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Hom} (A,B)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Hom} (A,B)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3f4629d327bd98046c41af058fa43118d1333621.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.192ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Hom} (A,B)}" loading="lazy">, wenn der Bezug zur Kategorie klar ist, oder auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Mor} _{C}(A,B)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Mor} _{C}(A,B)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0dc714a60a54e8d20a64c73db5943444e96b058c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.037ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Mor} _{C}(A,B)}" loading="lazy"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C(A,B)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C(A,B)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/78a254b8fbb7b834776a7f67eb0b89c6f4c2617a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.117ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C(A,B)}" loading="lazy">) die <a href="Menge_(Mathematik)" title="Menge (Mathematik)">Menge</a> der Homomorphismen (oder Morphismen) von einem Objekt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> zu einem Objekt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> einer Kategorie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"> und zählt somit zu den grundlegenden Daten einer Kategorie. Die jeweilige Abbildung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ab641eccf8b3874d8bc7a92fba49152cd5796e89.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.323ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}}" loading="lazy"> ist der Hom-<a href="Funktor_(Mathematik)" title="Funktor (Mathematik)">Funktor</a> zu der Kategorie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy">.

Wenn beispielsweise die Objekte der Kategorie aus „Mengen mit zusätzlichen Eigenschaften“ bestehen (z. B. <a href="Gruppe_(Mathematik)" title="Gruppe (Mathematik)">Gruppen</a>, <a href="Topologischer_Raum" title="Topologischer Raum">topologische Räume</a>), so sind die zugehörigen Morphismen im Allgemeinen genau die mit diesen Eigenschaften verträglichen Abbildungen (zum Beispiel Gruppenhomomorphismen, stetige Abbildungen).

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Hom_als_Funktor">Hom als Funktor</h2></div>

Man kann <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Hom} }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Hom} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5d0830df5db5d5e66a6c5701fbff3beb967fab55.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.841ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Hom} }" loading="lazy"> jedoch auch auffassen als Abbildung, die jedem Paar <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (A,B)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (A,B)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ce67314185650d6f0deba39db7dcec9378f4d4d1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.35ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (A,B)}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy">-Objekten eine Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Hom} (A,B)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Hom} (A,B)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3f4629d327bd98046c41af058fa43118d1333621.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.192ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Hom} (A,B)}" loading="lazy"> zuordnet.

Man hat jedoch noch mehr: Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon A'\to A}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A'\to A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/137717dce95a3c771aaeaaf7c23b2caa5e02d8e7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.098ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f\colon A'\to A}" loading="lazy"> ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy">-Morphismus, also ein Element von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Hom} (A',A)}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Hom} (A',A)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ae681a610b90365955d0f615ba738b7a8fdcf8cc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.856ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Hom} (A',A)}" loading="lazy">, so kann man jedem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h\in \operatorname {Hom} (A,B)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h\in \operatorname {Hom} (A,B)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a8342b57e6ea7b2c09bcc213353956be4cb58c83.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.371ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle h\in \operatorname {Hom} (A,B)}" loading="lazy"> den <a href="Homomorphismus" title="Homomorphismus">Homomorphismus</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h\circ f\in \operatorname {Hom} (A',B)}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h\circ f\in \operatorname {Hom} (A',B)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a897fefff6592cd51e9ae5e3a20f8060285c2e96.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.529ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle h\circ f\in \operatorname {Hom} (A',B)}" loading="lazy"> zuordnen und erhält so eine Abbildung

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Hom} (f,B)\colon \operatorname {Hom} (A,B)\to \operatorname {Hom} (A',B).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f3788b3b06d8b7b11e0b2418723efddaffb02232.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:39.09ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Hom} (f,B)\colon \operatorname {Hom} (A,B)\to \operatorname {Hom} (A',B).}" loading="lazy"></dd></dl>

Ebenso erhält man zu einem Homomorphismus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\in \operatorname {Hom} (B,B')}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\in \operatorname {Hom} (B,B')}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/41b493ec65bf61a34023bd9f8010229361c99768.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.854ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle g\in \operatorname {Hom} (B,B')}" loading="lazy"> eine Abbildung

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Hom} (A,g)\colon \operatorname {Hom} (A,B)\to \operatorname {Hom} (A,B'),}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1d3070fed18484d94dc0fcddfbf8b664a5b40724.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:38.907ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Hom} (A,g)\colon \operatorname {Hom} (A,B)\to \operatorname {Hom} (A,B'),}" loading="lazy"></dd></dl>

indem man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy"> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\circ h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\circ h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43cf6b5a87c95b7592be480ed4ef3324aea3bec9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.65ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g\circ h}" loading="lazy"> abbildet.

Kombiniert erhält man eine Abbildung

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Hom} (f,g)\colon \operatorname {Hom} (A,B)\to \operatorname {Hom} (A',B').}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/02023c44db5299dfc825503a574de9a353d94694.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:39.127ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Hom} (f,g)\colon \operatorname {Hom} (A,B)\to \operatorname {Hom} (A',B').}" loading="lazy"></dd></dl>

Man verifiziert leicht die folgenden Eigenschaften:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Hom} (\operatorname {id} _{A},\operatorname {id} _{B})=\operatorname {id} _{\operatorname {Hom} (A,B)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1b6237177ab2003c5d456d587eb7bd29568f69c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:27.418ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Hom} (\operatorname {id} _{A},\operatorname {id} _{B})=\operatorname {id} _{\operatorname {Hom} (A,B)}}" loading="lazy">, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {id} _{A}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {id} _{A}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f8e9928a7f50859422671451607b974756960fa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.404ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {id} _{A}}" loading="lazy"> usw. die <a href="Identische_Abbildung" title="Identische Abbildung">Identität</a> des jeweiligen Objektes bezeichnet.</li>

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Hom} (f,g)\circ \operatorname {Hom} (f',g')=\operatorname {Hom} (f'\circ f,g\circ g')}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d2df09a60d037733b189f46c278c7fc9cc6ad14a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:45.142ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Hom} (f,g)\circ \operatorname {Hom} (f',g')=\operatorname {Hom} (f'\circ f,g\circ g')}" loading="lazy">, soweit die Verknüpfungen definiert sind (d. h. entsprechende Definitions- und Zielbereiche übereinstimmen).</li></ul>

In der kategorientheoretischen Sprache kann man dies unter Verwendung der Begriffe der <a href="Kategorientheorie#Duale_Kategorie" title="Kategorientheorie">dualen Kategorie</a> und der <a href="Produktkategorie" class="mw-redirect" title="Produktkategorie">Produktkategorie</a> so ausdrücken:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Hom} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5d0830df5db5d5e66a6c5701fbff3beb967fab55.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.841ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Hom} }" loading="lazy"> ist ein <a href="Funktor_(Mathematik)" title="Funktor (Mathematik)">Funktor</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C^{op}\times C}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C^{op}\times C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6f2fa6f386195664016ea472cf5f9bf6267ca7bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.261ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle C^{op}\times C}" loading="lazy"> in die Kategorie Set der Mengen.

Man beachte: Objekte von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C^{op}\times C}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C^{op}\times C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6f2fa6f386195664016ea472cf5f9bf6267ca7bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.261ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle C^{op}\times C}" loading="lazy"> sind Paare <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (A,B)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (A,B)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ce67314185650d6f0deba39db7dcec9378f4d4d1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.35ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (A,B)}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy">-Objekten, Morphismen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (A,B)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (A,B)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ce67314185650d6f0deba39db7dcec9378f4d4d1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.35ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (A,B)}" loading="lazy"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (A',B')}">

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (A',B')}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ce49af139260ba65c754ecefb2b6afda247425e2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.72ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (A',B')}" loading="lazy"> sind Paare <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (f,g)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (f,g)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a230d05990654b0fdcc68c1987f0cc6a27ead28c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.238ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (f,g)}" loading="lazy"> von Morphismen, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\in \operatorname {Hom} _{C}(B,B')}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\in \operatorname {Hom} _{C}(B,B')}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c8983f7ff8f58b32f18a2ce31767a09995502e54.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.335ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle g\in \operatorname {Hom} _{C}(B,B')}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\in \operatorname {Hom} _{C^{op}}(A,A')=\operatorname {Hom} _{C}(A',A)}">

<msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msub>

<msup>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\in \operatorname {Hom} _{C^{op}}(A,A')=\operatorname {Hom} _{C}(A',A)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/78ef53ef7baa81553df090c99dfbd754d7eb5982.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.397ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f\in \operatorname {Hom} _{C^{op}}(A,A')=\operatorname {Hom} _{C}(A',A)}" loading="lazy"> ist, und es ist

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (f,g)\circ (f',g')=(f'\circ f,g\circ g')}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e12fa0987987a713a89c24d41ea8ddf647dfc4e2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.618ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (f,g)\circ (f',g')=(f'\circ f,g\circ g')}" loading="lazy">, soweit definiert.

Insbesondere erhält man so zu einem festen Objekt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\in \operatorname {Ob} (C)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\in \operatorname {Ob} (C)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/36d6fd26246104836f86a6d11cfcf2eed61a427f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.26ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A\in \operatorname {Ob} (C)}" loading="lazy"> einen kovarianten Funktor

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Hom} (A,-)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dcd09b0dd4114a6f799460830a49b59cb7c3d543.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.236ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Hom} (A,-)}" loading="lazy"> und einen kontravarianten Funktor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Hom} (-,A)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Hom} (-,A)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/457e7b81821e4854c980b5a6080a4ef066fcdd91.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.236ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Hom} (-,A)}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"> nach Set, die sogenannten partiellen Hom-Funktoren.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Verträglichkeit_mit_Zusatzstrukturen">Verträglichkeit mit Zusatzstrukturen</h2></div>

Im Allgemeinen ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Hom} (A,B)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Hom} (A,B)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3f4629d327bd98046c41af058fa43118d1333621.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.192ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Hom} (A,B)}" loading="lazy"> lediglich eine Menge (falls die Kategorie lokal klein ist) und trägt selbst nicht automatisch eine zusätzliche Struktur, abgesehen etwa davon, dass die <a href="Endomorphismus" title="Endomorphismus">Endomorphismen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {End} (A):=\operatorname {Hom} (A,A)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {End} (A):=\operatorname {Hom} (A,A)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cb451e83a6f3db4e4df28e0e4c117c2eb4d76b6c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.636ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {End} (A):=\operatorname {Hom} (A,A)}" loading="lazy"> unter Komposition ein <a href="Monoid" title="Monoid">Monoid</a> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {id} _{A}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {id} _{A}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f8e9928a7f50859422671451607b974756960fa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.404ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {id} _{A}}" loading="lazy"> als neutralem Element bilden.

Sind jedoch beispielsweise die Objekte von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {C}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {C}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e7b3edab7022ca9e2976651bc59c489513ee9019.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.239ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {C}}}" loading="lazy"> <a href="Abelsche_Gruppe" title="Abelsche Gruppe">abelsche Gruppen</a> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}" loading="lazy">-<a href="Modul_(Mathematik)" title="Modul (Mathematik)">Moduln</a> für einen <a href="Ring_(Algebra)" title="Ring (Algebra)">Ring</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}" loading="lazy">, so können Homomorphismen punktweise addiert und/oder mit Elementen aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}" loading="lazy"> multipliziert werden, und somit bildet <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/15c28532c9a603a180fe409f2cae912eb7ae009e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.3ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)}" loading="lazy"> dann selbst eine abelsche Gruppe bzw. einen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}" loading="lazy">-Modul.

Man überprüft dann unmittelbar, dass die oben definierten Zuordnungen hiermit verträglich sind und dass somit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Hom} }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Hom} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5d0830df5db5d5e66a6c5701fbff3beb967fab55.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.841ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Hom} }" loading="lazy"> in diesen Fällen sogar als Funktor in die Kategorie Ab der abelschen Gruppen bzw. die Kategorie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}" loading="lazy">-Mod der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}" loading="lazy">-Moduln aufgefasst werden kann.

Je nach betrachteter Kategorie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {C}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {C}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e7b3edab7022ca9e2976651bc59c489513ee9019.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.239ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {C}}}" loading="lazy"> sind weitere solche Zusatzstrukturen auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Hom} (A,B)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Hom} (A,B)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3f4629d327bd98046c41af058fa43118d1333621.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.192ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Hom} (A,B)}" loading="lazy"> möglich. Das heißt, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Hom} (A,B)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Hom} (A,B)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3f4629d327bd98046c41af058fa43118d1333621.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.192ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Hom} (A,B)}" loading="lazy"> wird als Objekt einer Kategorie, die nicht unbedingt die Kategorie der Mengen ist, aufgefasst. Allgemein spricht man von einer über einer Kategorie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {D}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {D}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3277962e1959c3241fb1b70c7f0ac6dcefebd966.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.792ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {D}}}" loading="lazy"> <a href="Angereicherte_Kategorie" title="Angereicherte Kategorie">angereicherten Kategorie</a> (auch: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {D}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {D}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3277962e1959c3241fb1b70c7f0ac6dcefebd966.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.792ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {D}}}" loading="lazy">-Kategorie), wenn der Hom-Funktor auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {C}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {C}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e7b3edab7022ca9e2976651bc59c489513ee9019.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.239ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {C}}}" loading="lazy"> ein Funktor in die Kategorie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {D}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {D}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3277962e1959c3241fb1b70c7f0ac6dcefebd966.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.792ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {D}}}" loading="lazy"> ist und eine gewisse Verträglichkeit aufweist, die unterschiedlich gewählt werden kann, etwa mit einer gewählten <a href="Monoidale_Struktur" class="mw-redirect" title="Monoidale Struktur">monoidalen Struktur</a> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {D}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {D}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3277962e1959c3241fb1b70c7f0ac6dcefebd966.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.792ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {D}}}" loading="lazy">. Jede <a href="Lokal_kleine_Kategorie" title="Lokal kleine Kategorie">lokal kleine Kategorie</a> ist über der Kategorie der Mengen mit dem <a href="Kartesisches_Produkt" title="Kartesisches Produkt">kartesischen Produkt</a> als monoidaler Struktur angereichert. Eine <a href="Pr%C3%A4additive_Kategorie" class="mw-redirect" title="Präadditive Kategorie">präadditive Kategorie</a> ist eine über der Kategorie der <a href="Abelsche_Gruppe" title="Abelsche Gruppe">abelschen Gruppen</a> mit dem üblichen <a href="Tensorprodukt" title="Tensorprodukt">Tensorprodukt</a> angereicherte Kategorie.

Auch über ganz simplen Kategorien, deren Objekte keine Mengen sind, kann man anreichern. Die Kategorie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {2} :=\{{\stackrel {0}{\bullet }}\to {\stackrel {1}{\bullet }}\}}">

</mrow>

<mover>

</mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {2} :=\{{\stackrel {0}{\bullet }}\to {\stackrel {1}{\bullet }}\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/681b83e3c0e75585664fa56750c8a46d4a621add.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.346ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {2} :=\{{\stackrel {0}{\bullet }}\to {\stackrel {1}{\bullet }}\}}" loading="lazy"> habe zwei Objekte und neben den Identitäten einen interessanten Pfeil zwischen den Objekten. Sie hat endliche Produkte als monoidale Struktur. Unter dieser ist eine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {2} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {2} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8db0cc42a494c9891ec4a9c91dc2c88d1fb65f1d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.337ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {2} }" loading="lazy">-Kategorie eine <a href="Quasiordnung" title="Quasiordnung">Quasiordnung</a>.

Die Quasiordnung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\mathbb {R} ^{+},\geq )}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\mathbb {R} ^{+},\geq )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b09684191d130e2bd84a0a8193add965368c0d4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.84ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (\mathbb {R} ^{+},\geq )}" loading="lazy"> kann mit Summen- („<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{+}}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{+}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b05c65edf5ddbc234b60ebcd8e1ef355f6048c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.189ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{+}}" loading="lazy">“)

oder Maximumsbildung („<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} _{\mathrm {max} }^{+}}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} _{\mathrm {max} }^{+}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b08ee134059d72a58faf5cb533dcf4962155e52e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.969ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} _{\mathrm {max} }^{+}}" loading="lazy">“) als monoidale Struktur ausgestattet werden. Man erhält als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{+}}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{+}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b05c65edf5ddbc234b60ebcd8e1ef355f6048c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.189ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{+}}" loading="lazy">-Kategorien verallgemeinerte <a href="Metrischer_Raum" title="Metrischer Raum">metrische Räume</a>, und als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} _{\mathrm {max} }^{+}}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} _{\mathrm {max} }^{+}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b08ee134059d72a58faf5cb533dcf4962155e52e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.969ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} _{\mathrm {max} }^{+}}" loading="lazy">-Kategorien Mengen mit verallgemeinerter <a href="Ultrametrik" title="Ultrametrik">Ultrametrik</a>. (Die Verallgemeinerung besteht darin, dass Symmetrie nicht gefordert wird und Punkte mit einem Abstand von Null nicht identisch sein müssen.)

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendungen">Anwendungen</h2></div>

Bei der Untersuchung <a href="Abelsche_Kategorie" title="Abelsche Kategorie">abelscher Kategorien</a> spielt auch der <a href="Ext_(Mathematik)" title="Ext (Mathematik)">Ext</a>-Funktor, der <a href="Abgeleiteter_Funktor" title="Abgeleiteter Funktor">abgeleitete Funktor</a> zu Hom, eine wichtige Rolle.

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output table.erw-nav-zebra>tbody>:nth-child(odd){background-color:var(--dewiki-hintergrundfarbe-basis)}.mw-parser-output .erw-nav-farbschema-blau .erw-nav-leiste{background-color:#f5f5f5}.mw-parser-output .erw-nav-farbschema-blau .erw-nav-gruppe{background-color:#e5ecf2}.mw-parser-output .erw-nav-farbschema-grau .erw-nav-leiste,.mw-parser-output .erw-nav-farbschema-grau .erw-nav-gruppe{background-color:#ececec}.mw-parser-output .erweiterte-navigationsleiste .klappleiste-inhalt>.wikitable>*>tr{border-top:2px solid #fdfdfd!important;border-bottom:2px solid #fdfdfd!important}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .erw-nav-farbschema-blau .erw-nav-leiste,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .erw-nav-farbschema-blau .erw-nav-gruppe,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .erw-nav-farbschema-grau .erw-nav-leiste,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .erw-nav-farbschema-grau .erw-nav-gruppe{background-color:#202122}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .erweiterte-navigationsleiste .klappleiste-inhalt .wikitable tr,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .erweiterte-navigationsleiste .klappleiste-inhalt .wikitable td{border-color:#101418!important}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .erw-nav-bild span[typeof="mw:File"] img{background-color:#c8ccd1}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .erw-nav-farbschema-blau .erw-nav-leiste,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .erw-nav-farbschema-blau .erw-nav-gruppe,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .erw-nav-farbschema-grau .erw-nav-leiste,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .erw-nav-farbschema-grau .erw-nav-gruppe{background-color:#202122}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .erweiterte-navigationsleiste .klappleiste-inhalt .wikitable tr,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .erweiterte-navigationsleiste .klappleiste-inhalt .wikitable td{border-color:#101418!important}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .erw-nav-bild span[typeof="mw:File"] img{background-color:#c8ccd1}}.mw-parser-output .erweiterte-navigationsleiste .hlist .wikitable{border-top:0px!important;border-bottom:0px!important;margin-top:0!important;margin-bottom:0!important}.mw-parser-output .erweiterte-navigationsleiste .hlist .wikitable tr:first-of-type td{border-top:0px!important}.mw-parser-output .erweiterte-navigationsleiste .hlist .wikitable tr:last-of-type td{border-bottom:0px!important}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r260755238">

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output div.klappleiste{border:1px solid var(--dewiki-rahmenfarbe1);clear:both;font-size:95%;box-sizing:border-box;margin-top:1.5em;padding:2px}.mw-parser-output div.klappleiste:after{clear:both;content:"";display:block}.mw-parser-output div.klappleiste-bild{float:left;padding:2px}.mw-parser-output div.klappleiste-kopf{background:var(--dewiki-hintergrundfarbe5);color:var(--color-base,#202122);text-align:center;font-weight:bold}.mw-parser-output div.klappleiste.mw-collapsed .klappleiste-bild{display:none}.mw-parser-output div.klappleiste+div.klappleiste,.mw-parser-output div.klappleiste+link+div.klappleiste,.mw-parser-output div.klappleiste+link+link+div.klappleiste,.mw-parser-output div.klappleiste+link+style+div.klappleiste,.mw-parser-output div.klappleiste+style+div.klappleiste,.mw-parser-output div.klappleiste+style+style+div.klappleiste,.mw-parser-output div.klappleiste+style+link+div.klappleiste{margin-top:-1px}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .klappleiste-bild span[typeof="mw:File"]:not(.skin-invert-image) img{background-color:#c8ccd1}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .klappleiste-bild span[typeof="mw:File"]:not(.skin-invert-image) img{background-color:#c8ccd1}}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style>

<div class="klappleiste-kopf"><a href="Kategorientheorie" title="Kategorientheorie">Kategorientheorie</a><div class="erweiterte-navigationsleiste-quicklinks" style="float:left; font-weight:normal; font-size:75%; margin-left:1em; margin-right:2em; display:none;">V </div></div>

<td class="erw-nav-gruppe" style="white-space: nowrap;text-align: right;border: 1px solid transparent;border-top: 1px solid #FFF;border-bottom: 2px solid #FFF;padding: 0 1em;">Einordnung

</td>

<td class="erw-nav-gruppe" style="white-space: nowrap;text-align: right;border: 1px solid transparent;border-top: 1px solid #FFF;border-bottom: 2px solid #FFF;padding: 0 1em;">Typen von Kategorien

</td>

<a href="Duale_Kategorie" title="Duale Kategorie">dual</a> | <a href="Diskrete_Kategorie" title="Diskrete Kategorie">diskret</a> | <a href="Kleine_Kategorie" class="mw-redirect" title="Kleine Kategorie">klein</a> | <a href="Lokal_kleine_Kategorie" title="Lokal kleine Kategorie">lokal klein</a> | <a href="Monoidale_Kategorie" title="Monoidale Kategorie">monoidal</a> | <a href="Symmetrische_monoidale_Kategorie" title="Symmetrische monoidale Kategorie">symmetrisch monoidal</a> | <a href="Angereicherte_Kategorie" title="Angereicherte Kategorie">angereichert</a> | <a href="Ausgeglichene_Kategorie" title="Ausgeglichene Kategorie">ausgeglichen</a> | <a href="Erreichbare_Kategorie" title="Erreichbare Kategorie">erreichbar</a> | <a href="Vollst%C3%A4ndige_Kategorie" title="Vollständige Kategorie">vollständig</a> | <a href="Kovollst%C3%A4ndige_Kategorie" class="mw-redirect" title="Kovollständige Kategorie">kovollständig</a>

</td></tr>

<tr>

<td class="erw-nav-gruppe" style="white-space: nowrap;text-align: right;border: 1px solid transparent;border-top: 1px solid #FFF;border-bottom: 2px solid #FFF;padding: 0 1em;">Typen von Objekten

</td>

<a href="Anfangsobjekt%2C_Endobjekt_und_Nullobjekt" title="Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt">initial</a> | <a href="Anfangsobjekt%2C_Endobjekt_und_Nullobjekt" title="Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt">terminal</a> | <a href="Anfangsobjekt%2C_Endobjekt_und_Nullobjekt" title="Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt">null</a> | <a href="Injektives_Objekt" title="Injektives Objekt">injektiv</a> | <a href="Projektives_Objekt" title="Projektives Objekt">projektiv</a> | <a href="Generator_und_Kogenerator" title="Generator und Kogenerator">Generator</a> | <a href="Kogenerator" class="mw-redirect" title="Kogenerator">Kogenerator</a> | <a href="Ind-Objekte_und_Pro-Objekte" title="Ind-Objekte und Pro-Objekte">Pro</a> | <a href="Ind-Objekte_und_Pro-Objekte" title="Ind-Objekte und Pro-Objekte">Ind</a> | <a href="Gruppenobjekt" title="Gruppenobjekt">Gruppe</a> | <a href="Monoid-Objekt" title="Monoid-Objekt">Monoid</a> | <a href="Exponentiales_Objekt" title="Exponentiales Objekt">exponential</a> | <a href="Freies_Objekt" title="Freies Objekt">frei</a> | <a href="Kompaktes_Objekt" title="Kompaktes Objekt">kompakt</a>

</td></tr>

<tr>

<td class="erw-nav-gruppe" style="white-space: nowrap;text-align: right;border: 1px solid transparent;border-top: 1px solid #FFF;border-bottom: 2px solid #FFF;padding: 0 1em;">Typen von Morphismen

</td>

<a href="Monomorphismus" title="Monomorphismus">Mono</a> | <a href="Epimorphismus" title="Epimorphismus">Epi</a> | <a href="Bimorphismus" title="Bimorphismus">Bi</a> | <a href="Retraktion_und_Koretraktion" title="Retraktion und Koretraktion">Retraktion</a> | <a href="Koretraktion" class="mw-redirect" title="Koretraktion">Koretraktion</a> | <a href="Injektive_Aufl%C3%B6sung" title="Injektive Auflösung">Injektive Auflösung</a> | <a href="Projektive_Aufl%C3%B6sung" title="Projektive Auflösung">Projektive Auflösung</a>

</td></tr>

<tr>

<td class="erw-nav-gruppe" style="white-space: nowrap;text-align: right;border: 1px solid transparent;border-top: 1px solid #FFF;border-bottom: 1px solid #FFF;padding: 0 1em;">Typen von Funktoren

</td>

<a href="Konstanter_Funktor" title="Konstanter Funktor">konstant</a> | <a href="Voller_Funktor" class="mw-redirect" title="Voller Funktor">voll</a> | <a href="Treuer_Funktor" title="Treuer Funktor">treu</a> | <a href="Volltreuer_Funktor" class="mw-redirect" title="Volltreuer Funktor">volltreu</a> | <a href="Additiver_Funktor" title="Additiver Funktor">additiv</a> | <a href="Exakter_Funktor" title="Exakter Funktor">exakt</a> | <a href="Abgeleiteter_Funktor" title="Abgeleiteter Funktor">abgeleitet</a> | <a href="Glatter_Funktor" title="Glatter Funktor">glatt</a>

</td></tr>

</tbody></table></div>

</td></tr>

<tr>

<td class="erw-nav-gruppe" style="white-space: nowrap;text-align: right;border: 1px solid transparent;border-top: 1px solid #FFF;border-bottom: 2px solid #FFF;padding: 0 1em;">Konstruktionen

</td>

<td class="erw-nav-gruppe" style="white-space: nowrap;text-align: right;border: 1px solid transparent;border-top: 1px solid #FFF;border-bottom: 2px solid #FFF;padding: 0 1em;"><a href="Limes_(Kategorientheorie)" title="Limes (Kategorientheorie)">Limes</a>

</td>

<a href="Produkt_und_Koprodukt" title="Produkt und Koprodukt">Produkt</a> | <a href="Differenzkern" title="Differenzkern">Differenzkern</a> | <a href="Faserprodukt" title="Faserprodukt">Faserprodukt</a> | <a href="Ende_(Kategorientheorie)" title="Ende (Kategorientheorie)">Ende</a>

</td></tr>

<tr>

<td class="erw-nav-gruppe" style="white-space: nowrap;text-align: right;border: 1px solid transparent;border-top: 1px solid #FFF;border-bottom: 1px solid #FFF;padding: 0 1em;"><a href="Kolimes" title="Kolimes">Kolimes</a>

</td>

<a href="Filtrierter_Kolimes" title="Filtrierter Kolimes">Filtrierter Kolimes</a> | <a href="Koprodukt" class="mw-redirect" title="Koprodukt">Koprodukt</a> | <a href="Differenzkokern" title="Differenzkokern">Differenzkokern</a> | <a href="Kofaserprodukt" class="mw-redirect" title="Kofaserprodukt">Kofaserprodukt</a>

</td></tr>

</tbody></table>

<a href="Kan-Erweiterung" title="Kan-Erweiterung">Kan-Erweiterung</a> | <a href="Monade_(Kategorientheorie)" title="Monade (Kategorientheorie)">Monade</a> | <a href="Komonade" title="Komonade">Komonade</a> | <a href="Kategorie_der_Elemente" title="Kategorie der Elemente">Kategorie der Elemente</a> | <a href="Kommakategorie" title="Kommakategorie">Kommakategorie</a> | <a href="Pfeilkategorie" title="Pfeilkategorie">Pfeilkategorie</a> | <a href="Homotopie-Kategorie" title="Homotopie-Kategorie">Homotopie-Kategorie</a>

</td></tr>

<tr>

<td class="erw-nav-gruppe" style="white-space: nowrap;text-align: right;border: 1px solid transparent;border-top: 1px solid #FFF;border-bottom: 2px solid #FFF;padding: 0 1em;">Resultate

</td>

<a href="Lemma_von_Yoneda" title="Lemma von Yoneda">Lemma von Yoneda</a> | <a href="Fixpunktsatz_von_Lawvere" title="Fixpunktsatz von Lawvere">Fixpunktsatz von Lawvere</a> | <a href="Einbettungssatz_von_Mitchell" title="Einbettungssatz von Mitchell">Einbettungssatz von Mitchell</a>

</td></tr>

<tr>

<td class="erw-nav-gruppe" style="white-space: nowrap;text-align: right;border: 1px solid transparent;border-top: 1px solid #FFF;border-bottom: 1px solid #FFF;padding: 0 1em;">Spezielle Funktoren

</td>

<a class="mw-selflink selflink">Hom-Funktor</a> | <a href="Potenzmengenfunktor" title="Potenzmengenfunktor">Potenzmengenfunktor</a> | <a href="Diagonalfunktor" title="Diagonalfunktor">Diagonalfunktor</a> | <a href="Ext-Funktor" class="mw-redirect" title="Ext-Funktor">Ext</a> | <a href="Tor-Funktor" class="mw-redirect" title="Tor-Funktor">Tor</a>

</td></tr>

</tbody></table></div></div></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-08-15" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Hom-Funktor&oldid=258901302">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

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</body></html>